Question

2．若数列{a_n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期为T的周期数列．已知数列{a_n}满足：a₁=m （m＞a ），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-1，{a_n}＞1\\ \frac{1}{a_n}，0＜{a_n}≤1\end{array}$，现给出以下三个命题：
①若 m=$\frac{2}{5}$，则a₅=2；
②若 a₃=3，则m可以取3个不同的值；
③若 m=$\sqrt{3}$，则数列{a_n}是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是①②．

Answer 1

分析 ①由给出的递推式，把m=$\frac{2}{5}$及代入递推式验证，可以判断
②将a₃=3代入可得到不同的m的值．
③将m=$\sqrt{3}$代入验证可求得周期．

解答 解：对于①由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1}&{{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}}&{0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，且a₁=m=$\frac{2}{5}$＜1，
所以，${a}_{2}=\frac{5}{2}$＞1，${a}_{3}=\frac{3}{2}＞1$，${a}_{4}=\frac{1}{2}＜1$，∴a₅=2 故①正确；
对于②由a₃=3，若a₃=a₂-1=3，则a₂=4，若a₁-1=4，则a₁=5=m．
若${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}=3$，则${a}_{2}=\frac{1}{3}$．
若a₁＞1a₁=$\frac{4}{3}$，若0＜a₁≤1则a₁=3，不合题意．
所以，a₃=2时，m即a₁的不同取值由3个．
故②正确；
若a₁=m=$\sqrt{3}$＞1，则a2=$\sqrt{3}-1＜1$，所a3=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$＞1，a4=$\sqrt{3}$
故在a1=$\sqrt{3}$时，数列{a_n}是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②

点评 本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目