Question

12．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上，F₁，F₂是这条双曲线上的两个焦点，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且△F₁PF₂的三条边的长度成等差数列，则此双曲线的离心率的值为5．

Answer 1

分析 设|PF₂|，|PF₁|，|F₁F₂|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=$\frac{5}{2}$d，由此求得离心率的值．

解答 解：设|PF₂|，|PF₁|，|F₁F₂|成等差数列，且分别设为m-d，m，m+d，
则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）²+m²=（m+d）²，
解得m=4d=8a，c=$\frac{5}{2}$d，故离心率e=$\frac{c}{a}$=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．