Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+{{（{sinx+cosx}）}^2}}}{{{x^2}+2}}$，其导函数记为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=2．

Answer 1

分析 先判断出原函数和导函数的奇偶性，从而进行求值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+{{（{sinx+cosx}）}^2}}}{{{x^2}+2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1+1+sin2x}{{x}^{2}+2}$=1+$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$，
设g（x）=$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$，则g（z）=f（x）-1，
则g（-x）=-$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$=-g（x），
∴g（x）为奇函数，
即f（x）-1为奇函数
∴f′（x）=g′（x）=$\frac{2（1+cos2x）（{x}^{2}+2）-（2x+sin2x）•2x}{（{x}^{2}+2）^{2}}$
∴f′（x）为偶函数，
则f（-2015）-1=-[f（2015）-1]，即f（2015）+f（-2015）=2，
且f′（2015）-f′（2015）=0，从而f（2015）+f'（2015）+f（-2015）-f'（2015）=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了导数的应用，考查了函数的奇偶性，属于中档题．