Question

17．已知函数f（x）=x²+ax+b满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）关于x的不等式f（x）＞2x|x-t|
①若t=1，求上述不等式的解集；
②若上述不等式对任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=-2可得b-a+1=0①，由f（x）≥2x恒成立，即x²+（a-2）x+b≥0恒成立，得△=（a-2）²-4b≤0，联立①消掉a可求得b，即得a．
（2）①代t=1，根据x的取值范围去掉绝对值求解即可．②转化成$\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}-2≤t≤\frac{3x}{2}+\frac{1}{2x}+2$，利用均值不等式和函数单调性求最值．

解答 解：（1）由f（-1）=-2可得b-a+3=0①，由f（x）≥2x恒成立，即x²+（a-2）x+b≥0恒成立，得△=（a-2）²-4b≤0，由①得b=a-3代入得（a-2）²-4（a-3）≤0
即（a-4）²≤0，所以a=4，b=1．f（x）=x²+4x+1
（2）①当t=1时，f（x）＞2x|x-1|，即f（x）=x²+4x+1＞$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x}&{x＞1}\\{2x-2{x}^{2}}&{x≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}+4x+1＞2{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{{x}^{2}+4x+1＞2x-2{x}^{2}}\end{array}\right.$
解得x＞3$+\sqrt{10}$或x≤1．
②x2+4x+1≥2x|x-t|，$\frac{x}{2}+2+\frac{1}{2x}≥|x-t|$
化简整理得$\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}-2≤t≤\frac{3x}{2}+\frac{1}{2x}+2$，显然，y=$\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}-2$为增函数，
所以在x∈[$\frac{1}{2}$，2]t$≥（\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}-2）_{max}$=$-\frac{5}{4}$，$\frac{3x}{2}+\frac{1}{2x}+2≥2\sqrt{\frac{3}{4}}+2=\sqrt{3}+2$当且仅当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，
所以，t$≤4+\sqrt{3}$，综上t的取值范围为[$-\frac{5}{4}，4+\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查不等式的求解和恒成立问题的解决方法，以及化归思想的应用，属于中档题型．