Question

12．设二次函数f（x）=mx²-4x+4与g（x）=x²-4mx+4m²-4m-5，其中m∈Z且m≠0，求函数f（x）和g（x）的零点均为整数的充要条件．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．

解答 解：∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x²-4mx+4m²-4m-5=0，且两方程都要有实根，
∴△₁=16-16m≥0且△₂=16m²-4（4m²-4m-5）≥0
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴$\frac{4}{m}$∈Z，4m∈Z，．4m²-4m-5∈Z，∴m为4的约数．
又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，
∴m=-1或1．
当m=-1时，第一个方程x²+4x-4=0的根为非整数；
而当m=1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用二次函数的性质是解决本题的关键．