Question

20．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F．
（1）求证：A₁C⊥平面BDE；
（2）求BC与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）首先分别以DA，DC，DD₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并求出一些点的坐标，设E（0，2，z），由BE⊥B₁C即可求出z=1．可设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，从而可说明$\overrightarrow{{A}_{1}C}$∥$\overrightarrow{n}$，这样便得出A₁C⊥平面BDE；
（2）求出向量$\overrightarrow{BC}$的坐标，设BC与平面BDE所成角为θ，那么由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出BC与平面BDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）证明：分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4）；
E在棱CC₁上，设E（0，2，z），∵BE⊥B₁C，$\overrightarrow{BE}=（-2，0，z）$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（-2，0，-4）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=4-4z=0；
∴z=1；
∴E（0，2，1）；
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0），\overrightarrow{DE}=（0，2，1）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2y+z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，则$\overrightarrow{n}=（-1，1，-2）$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-2，2，-4）$=$2\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴A₁C⊥平面BDE；
（2）$\overrightarrow{BC}=（-2，0，0）$，设直线BC和平面BDE所成角为θ，则：
$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{2•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$；
∴BC与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直，求线面角的方法，平面法向量的概念及求法，知道直线与平面垂直时，直线方向向量与平面法向量的关系，弄清直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系，以及向量夹角夹角的坐标公式．