Question

15．设函数f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出a=$\frac{4}{5}$，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；
（Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≥0对于x＞0时恒成立，或f′（x）≤0对于x＞0恒成立，所以得到a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，或a≤$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，求出$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$的最大值和最小值1，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
∴f′（2）=a+$\frac{4}{a}$-1=0，解得a=$\frac{4}{5}$，
∴f′（x）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{{5x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-2）（2x-1）}{{5x}^{2}}$，x＞0，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，或2，
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0，
x∈（$\frac{1}{2}$，2）时，f′（x）＜0，
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得极大值f（$\frac{1}{2}$）=2ln2-$\frac{6}{5}$；
（Ⅱ）①若f（x）在定义域上是增函数，
则f′（x）≥0在x＞0时恒成立，
∵f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∴需x＞0时ax²-2x+a≥0恒成立；
化ax²-2x+a≥0为a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$恒成立，
∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
∴a≥1为所求；
②若f（x）在定义域上是减函数，
则f′（x）≤0在x＞0时恒成立，
∵f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
∴需x＞0时ax²-2x+a≤0恒成立；
化ax²-2x+a≤0为a≤$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$恒成立，
∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$＞0，
∴a≤0为所求；
综合①②：a≥1或a≤0．

点评 考查极值的概念，根据极值定义求极值，函数单调性和函数导数符号的关系．而对于第二问的关健是得到式子a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，或a≤$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，本题是一道中档题．