Question

10．定义一个对应法则f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．若点M坐标为（4，4），则对应点M′的坐标为（2，2）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}π$．

Answer 1

分析 本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本质，由定义的新法则f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$），（m≥0，n≥0）．点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分．然后根据弧长公式，易得答案

解答 解：解：由题意知AB的方程为：x+y=8，
设M（x，y），则M′（x²，y²），从而有x²+y²=8，
易知 A（2，6）→A′（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），B（6，2）→B′（$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$），
不难得出∠A′OX=$\frac{π}{3}$，∠B′OX=$\frac{π}{6}$，则∠A′OB′=$\frac{π}{6}$，点M的对应点M′所经过的路线长度为$\frac{\sqrt{2}}{3}$π．
故答案为：（2，2），$\frac{{\sqrt{2}}}{3}π$

点评 这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．弄懂定义的本质是解题关键；针对本题，通过阅读题意，不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分