Question

20．已知函数f（x）=e^x+x²-x，若对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，则k的取值范围是（　　）

• A． [e²-1，+∞）
• B． [e²，+∞）
• C． [e²+1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等价于f（x）=e^x+x²-x在[-2，2]内的最大值与最小值的差小于等于k．

解答 解：∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，
由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．又f′（x）单调递增，可知f′（x）=0有唯一零点0，
∵f（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+6，f（2）=e²+2，f（0）=1．
∴函数f（x）=e^x+x²-x在[-2，2]内的最大值是e²+2，最小值是1．
∴函数f（x）=e^x+x²-x，对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e²+2-1=e²+1．
∵函数f（x）=e^x+x²-x对任意x₁，x₂∈[-2，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
∴k≥e²+1．
∴k的取值范围为[e²+1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．属于中档题