Question

11．设函数f（x）=lnx+$\frac{k}{x}$，k∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求k值；
（Ⅱ）若对任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜$\frac{m}{x}$的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得斜率为0，解方程可得k=e；
（Ⅱ）条件等价于对任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂恒成立，设h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{k}{x}$-x（x＞0），求出导数，运用参数分离，求出右边函数的最大值，即可得到k的范围；
（Ⅲ）由题意可得k=e，由题意f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，运用参数分离，求得右边函数的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，
∴此切线的斜率为0，
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，得k=e；
（Ⅱ）条件等价于对任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂恒成立…（*）
设h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{k}{x}$-x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$-1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥-x²+x=（-x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0）恒成立，
∴k≥$\frac{1}{4}$（对k=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0仅在x=$\frac{1}{2}$时成立），
故k的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（Ⅲ）由题可得k=e，
因为M∩P≠∅，所以f（x）＜$\frac{m}{x}$在[e，3]上有解，
即?x∈[e，3]，使f（x）＜$\frac{m}{x}$成立，
即?x∈[e，3]，使 m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）_min，
令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，所以g（x）在[e，3]上单调递增，
g（x）_min=g（e）=2e，
所以m＞2e．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，考查不等式存在性和恒成立问题的解决方法，考查运算能力，属于中档题．