Question

10．已知非空集合S?N，并且满足条件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”．
（1）写出所有只含有一个元素的集合S；
（2）写出所有只含有两个元素的集合S；
（3）满足题设的集合S共有多少个？

Answer 1

分析 非空集合S?N，并且满足条件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S
（1）当S只有一个元素时，x=$\frac{16}{x}$，解得S；
（2）用列举法，可得到所有元素个数为2的S；
（3）类比n元集合有2ⁿ-1个非空真子集，可得满足上述条件的集合S的个数

解答 解：∵非空集合S?N，并且满足条件“x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”
（1）当S只有一个元素时，x=$\frac{16}{x}$，
解得：x=±4，
故S={4}或S={-4}，
（2）当S只有二个元素时，集合S可以为：
{2，8}，{1，16}，{-2，-8}，{-1，-16}
（3）由于集合S中的元素2与8，1与16，-2与-8，-1与-16必须同时出现，故S中的元素至多有6组，
又∵S≠∅，
故满足条件的S共有2⁶-1=31．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，正确理解条件“如果x∈S，那么$\frac{16}{x}$∈S”是解答的关键