Question

17．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{kx-y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，且z=y-x的最小值为-4，则k的值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由z=y-x便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kx-y+2=0的方程，从而求出k．

解答 解：z=y-x表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；
z取最小值-4时，得到直线y=x-4；
画出直线x+y-2=0和y=x-4如下图：

由题意知，直线z=y-x经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；
从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；
∴直线kx-y+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；
∴y=0时，x=$-\frac{2}{k}$=4；
∴$k=-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=y-x可以看成在y轴上截距为z且平行于直线y=x的直线系．