Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（　　）
①f（x）的图象关于直线x=-$\frac{2π}{3}$对称   
②f（x）的图象关于点（-$\frac{5π}{12}$，0）对称
③若关于x的方程f（x）-m=0在[-$\frac{π}{2}$，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（-2，-$\sqrt{3}$]
④将函数y=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位可得到函数f（x）的图象．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可知A，可求T，ω，当x=$\frac{π}{12}$时取得最大值2，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，从而可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴，可得①不正确；由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心为，可得②不正确；若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，由正弦函数的图象可得③正确；由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得④不正确．

解答 解：由题意可知A=2，T=4（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，ω=2，
当x=$\frac{π}{12}$时取得最大值2，所以 2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称轴为：x=k$π+\frac{π}{12}$，k∈Z，可得①不正确；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得：f（x）的图象的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，0），k∈Z，可得②不正确；
若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
由正弦函数的图象可得若关于x的方程f（x）-m=0在[-$\frac{π}{2}$，0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（-2，-$\sqrt{3}$]，故③正确；
将函数y=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位可得到函数f（x）的解析式为：f（x）=2cos[2（x-$\frac{π}{12}$）]=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$）]=2sin（$\frac{2π}{3}$-2x）
=-2sin（2x-$\frac{2π}{3}$），故④不正确．
综上，故选：B．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．