Question

15．对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x₁，x₂，…x_m（0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x₁+x₂+…+x_m的值是$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，需要分类讨论，根据条件得到x═a+$\frac{1}{a（a+1）}$，继而求出a的可能值，最后代入计算即可．

解答 解：显然，x不可能是整数，
否则由于{x}=0，方程[x]•{x}•＜x＞=1不可能成立．
设[x]=a，则{x}=x-a，x=a+1，
代入得a（x-a）（a+1）=1，
解得x=a+$\frac{1}{a（a+1）}$．
考虑到x∈[0，n+1]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，…，n，
故符合条件的解有n个，即m=n，
则x₁+x₂+…+x_m=x₁+x₂+…+x_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题．