Question

16．已知直线l：y=m（m＞0）与函数f（x）=|lnx|的图象交于A，B两点．
（1）求证：函数f（x）在A，B两点处的切线互相垂直．
（2）分析方程f（x）=$\frac{1}{x}$解的个数，并证明．

Answer 1

分析 （1）求导数，证明函数f（x）在A，B两点处的导数的积等于-1即可；
（2）分类讨论，构造函数，即可得出结论．

解答 （1）证明：由题意，不妨设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₁＞1，则
∵-lnx₁=lnx₂，
∴x₁x₂=1
∵f′（x₁）=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，f′（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴f′（x₁）f′（x₂）=-1，
∴函数f（x）在A，B两点处的切线互相垂直．
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$，
0＜x＜1时，-lnx=$\frac{1}{x}$，∴-xlnx=1，
令h（x）=1+xlnx，则h′（x）=lnx+1=0，∴x=$\frac{1}{e}$，
∴函数在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴方程无解；
x≥1时，lnx=$\frac{1}{x}$，∴xlnx=1，
令g（x）=-1+xlnx，则g′（x）=lnx+1=0，∴x=$\frac{1}{e}$，
∴函数在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=-1＜0，∴方程有1根．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．