Question

9．如图，四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别为AC，BD的中点，AB=AD=2，∠BAC=60°．
（1）求证：CD⊥AF；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面ABD，得到BC⊥AF，AF⊥BD，证明AF⊥平面BCD，推出AF⊥CD．
（2）求出E到平面BCD的距离为$\frac{1}{2}$$AF=\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△BCD，然后求解体积．

解答 解：（1）证明：∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩AD=A，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，AF⊥BD又BC∩BD=B，
所以AF⊥平面BCD，
所以AF⊥CD
（2）由（1）知$AF=\sqrt{2}$，E到平面BCD的距离为$\frac{1}{2}$$AF=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又BC=2$\sqrt{3}$，BD=$2\sqrt{2}$  所以${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•BD=2\sqrt{6}$，
所以${V_{E-BCD}}=\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积以及直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力．