Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+cos²ωx-$\frac{1}{2}$，ω＞0，其图象上相邻三个最值点构成的三角形的面积为π．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足f（A）=1且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，求边BC的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据题意确定函数的最小正周期求得ω，进而求得函数的解析式，根据正弦函数的性质求得单调区间．
（2）根据题意求得A，进而利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用余弦定理表示出BC的表达式，根据基本不等式的性质求得最小值．

解答 解：（1）（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）_max=1，f（x）_min=-1，两个最高点或最低点的距离为T，
∴$\frac{1}{2}$×2×T=π，T=π，
即函数的最小正周期为π．
T=$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z时，函数单调增，
当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$时，即kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z时，函数单调减，
∴函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，
单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=2，即|AB|•|AC|=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2\sqrt{3}}$≥$\sqrt{2AB•AC-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
故BC的最小值为$\sqrt{3}$-1

点评 本题主要考查了三角函数的图象与性质，余弦定理的运用．考查了学生的数形结合思想的运用和基础知识的运用．