Question

2．等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，前n项和记为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项之和S′是（　　）

• A． $\frac{1}{S}$
• B． $\frac{1}{{q}^{n}S}$
• C． $\frac{{q}^{n}}{S}$
• D． $\frac{S}{{q}^{n-1}}$

Answer 1

分析 对q分类讨论，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式计算出即可．

解答 解：q=1时，a_n=1，S=n，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，S′=n，∴S′=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
当q≠1时，a_n=q^n-1，$S=\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$.$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{q}^{n-1}}$，∴S′=$\frac{1-\frac{1}{{q}^{n}}}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1-{q}^{n}}{{q}^{n-1}（1-q）}$=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
综上可知：S′=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
故选：D．

点评 本题考查了分类讨论方法、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．