Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=a_n+1-n•2ⁿ⁺³-4，n∈N^*，且a₁，S₂，2a₃+4成等比数列．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；          
（Ⅱ）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，n∈N^*，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列的性质和数列的求和条件，令n=1，2得到方程，即可求得a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由${S_n}={a_{n+1}}-n•{2^{n+3}}-4$得，${S_{n-1}}={a_n}-（n-1）{2^{n+2}}-4$，n≥2，两式相减，结合条件运用累加法和等差数列的求和公式，即可得到所求通项公式．

解答 解：（Ⅰ）由a₁，S₂，2a₃+4成等比数列．即有
a₁（2a₃+4）=（a₁+a₂）²，
由S_n=a_n+1-n•2ⁿ⁺³-4，可得a₁=a₂-20，
a₁+a₂=a₃-68，
解得a₁=4，a₂=24，a₃=96；
（Ⅱ）由${S_n}={a_{n+1}}-n•{2^{n+3}}-4$得，${S_{n-1}}={a_n}-（n-1）{2^{n+2}}-4$，n≥2
两式相减得，${a_{n+1}}=2{a_n}+（n+1）{2^{n+2}}$，
两边同时除以2ⁿ⁺¹得，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=2（n+1）$，则b_n+1-b_n=2（n+1），
当n≥2时，b_n=b₁+b₂-b₁+…b_n-b_n-1=2（1+2+…n）=n（1+n），
当n=1时，b₁=2满足上式，
所以b_n=n（n+1），
从而a_n=n（n+1）•2ⁿ．

点评 本题考查等比数列的性质，以及数列的通项和数列的求和的关系，同时考查累加法和等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．