Question

15．已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$．
（1）求∠A；
（2）若b=5，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）整理原等式利用余弦定理求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用向量的数量积运算公式和余弦定理求得a和c 关系式，与第一问中关系式求得c，进而利用三角形面积公式求得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$，
∴ab+b²=a²+ab-ac+ac+bc-c²，
∴b²=a²+bc-c²，①
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=|AC|•|CB|cosC=b•a•cosC=ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=5，
∴a²-c²=-15，②，
①②联立求得c=8，a=7，
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的运用，向量的数量积的运算公式的运用．解题过程中灵活运用边的关系，利用余弦定理建立方程求得即可．