Question

3．若{a_n}为等差数列，S_n是前n项的和，且S₁₁=$\frac{22}{3}$π，{b_n}为等比数列，b₅×b₇=$\frac{{π}^{2}}{4}$，则tan（a₆+b₆）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 运用等差数列的求和公式和等差中项，可得a₆=$\frac{2π}{3}$，由等比数列的性质可得b₆=±$\frac{π}{2}$，再由特殊角的三角函数，即可得到结论．

解答 解：由{a_n}为等差数列，S₁₁=$\frac{22π}{3}$π，
则$\frac{1}{2}$（a₁+a₁₁）×11=$\frac{22π}{3}$，
即为11a₆=$\frac{22π}{3}$，a₆=$\frac{2π}{3}$，
又{b_n}为等比数列，b₅•b₇=$\frac{{π}^{2}}{4}$，
即有b₆²=$\frac{{π}^{2}}{4}$，
即b₆=±$\frac{π}{2}$，
则tan（a₆+b₆）=tan（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{7π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
或tan（a₆+b₆）=tan（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质和求和公式，考查三角函数的求值，属于中档题．