Question

8．椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，过F₂作直线交抛物线y²=2x于A、B两点，射线OA，OB分别交椭圆C₁于点D、E，证明：$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$为定值．

Answer 1

分析 设直线方程为x=my+2，带入抛物线方程为y²=2x，得y²--2my-4=0，联立，根据条件列式，得出原点到直线DE的距离d=$\frac{|λ|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$为定值，求解即可．

解答 证明：设过椭圆得F₂（2，0）得直线方程为x=my+2，带入抛物线方程为y²=2x，得y²-2my-4=0．
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0
∴OA⊥OB
设D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直线DE的方程为x=ty+λ，代入$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得
（t²+3）y²+2tλy+λ²-6=0，于是y₃+y₄=-$\frac{2tλ}{{t}^{2}+3}$，y₃y₄=$\frac{{λ}^{2}-6}{{t}^{2}+3}$，
从而x₃x₄=$\frac{3{λ}^{2}-6{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$，
∵OA⊥OB，∴OD⊥OE，∴x₃x₄+y₃y₄=0，
代入整理得2λ²=3（t²+1），过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，
∴原点到直线DE的距离d=$\frac{|λ|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$为定值，
∵△DOE为直角三角形，∴$\frac{1}{2}|OD||OE|=\frac{1}{2}|DE|d$，∴$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$为定值．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．