Question

13．已知圆C的方程为（x+2）²+y²=4，点M在圆C上运动，点N的坐标是（2，0）．
（1）若线段MN的中点形成的轨迹为G，求轨迹G的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）设出线段MN的中点，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程．
（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，求出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过定点．

解答 解：（1）设线段MN的中点（x，y），则M（2x-2，2y）
∵NM在圆（x+2）²+y²=4上运动
∴（2x-2+2）²+（2y）²=4
即x²+y²=1①；
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为（8，b），b∈R，
则线段OP的中点坐标为（4，$\frac{b}{2}$）
∴以OP为直径的圆方程化简得：x²+y²-8x-by=0，b∈R，②
∵AB为两圆的公共弦，
∴①-②得：直线AB的方程为8x+by=1，b∈R，即8（x-$\frac{1}{8}$）+by=0，
则直线AB恒过定点（$\frac{1}{8}$，0）．

点评 本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程．