Question

4．如图所示，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以坐标原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线y=$\sqrt{3}$x+2相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P，Q，T为椭圆C上不同的三点，且P，Q两点关于x轴对称，若直线PT，QT分别与x轴交于点M．N．求证：|OM|•|ON|为定值．

Answer 1

分析 （1）通过题意可知椭圆短半轴长为原点到直线y=$\sqrt{3}$x+2的距离，利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算即得结论；
（2）通过设P（t，$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），Q（t，-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），M（m，0），N（n，0），联立PM、NQ方程可得点T坐标，代入椭圆C方程，计算即可．

解答 （1）解：∵原点到直线y=$\sqrt{3}$x+2的距离d=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$1，
∴椭圆C的短半轴长b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由题可设P（t，$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），Q（t，-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2}$），M（m，0），N（n，0），
则直线PM的方程为：y=$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（t-m）}$（x-m），
直线NQ的方程为：y=-$\frac{\sqrt{4-{t}^{2}}}{2（t-n）}$（x-n），
联立PM、NQ方程可得：T（$\frac{（m+n）t-2mn}{2t-（m+n）}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{（n-m）\sqrt{4-{t}^{2}}}{2t-（m+n）}$），
∵点T在椭圆C上，
∴[$\frac{（m+n）t-2mn}{2t-（m+n）}$]²+4[$\frac{1}{2}$•$\frac{（n-m）\sqrt{4-{t}^{2}}}{2t-（m+n）}$]²=4，
化简得：（4-mn）[t²-4（m+n）t+4mn]=0，
∴只需4-mn=0，即mn=4，
即|OM|•|ON|为定值．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．