Question

8．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（　　）

• A． k＞-$\frac{b}{a}$
• B． k＜$\frac{b}{a}$
• C． k＞$\frac{b}{a}$或k＜-$\frac{b}{a}$
• D． -$\frac{b}{a}$＜k＜$\frac{b}{a}$

Answer 1

分析 设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，由此能求出结果．

解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，可设为x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
所以-$\frac{b}{a}$＜k＜$\frac{b}{a}$
反之当-$\frac{b}{a}$＜k＜$\frac{b}{a}$时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是-$\frac{b}{a}$＜k＜$\frac{b}{a}$，
故选：D．

点评 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．