Question

16．设圆C：（x+4）²+y²=16，动圆M：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+22=0，平面内是还有存在定点P，过点P作圆C的一条切线，切点为T₁，过点P作圆M的一条切线，切点为T₂，使无穷多个圆M，满足$\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设P（x，y），利用$\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{（x+4）^{2}+{y}^{2}-16}{{x}^{2}+{y}^{2}-2ax-2（8-a）y+4a+22}$=$\frac{1}{4}$，从$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y-4=0}\\{3{x}^{2}+3{y}^{2}+32x+16y-22=0}\end{array}\right.$，即可得出结论．

解答 解：圆C：（x+4）²+y²=16的圆心为（-4，0），半径为4，动圆M：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+22=0的圆心为（a，8-a），半径为$\sqrt{2{a}^{2}-20a+42}$
设P（x，y），则
因为$\frac{P{T}_{1}}{P{T}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{（x+4）^{2}+{y}^{2}-16}{{x}^{2}+{y}^{2}-2ax-2（8-a）y+4a+22}$=$\frac{1}{4}$，
所以3x²+3y²+（32+2a）x+2（8-a）y-4a-22=0，
所以a（2x-2y-4）+（3x²+3y²+32x+16y-22）=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y-4=0}\\{3{x}^{2}+3{y}^{2}+32x+16y-22=0}\end{array}\right.$，
可得y²+10y+9=0，∴y=-1或-9，
∴P（1，-1）或P（-7，-9）．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．