Question

3．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$mx³+（m+4）x²，g（x）=alnx，其中a≠0，当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性．

Answer 1

分析 利用导函数的正负性判断原函数的单调性，注意要以m进行讨论．

解答 解：f′（x）=mx²+2（4+m）x，当a=8时，F（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），
F'（x）=2mx+8+2m+$\frac{8}{x}$=$\frac{2m{x}^{2}+（8+2m）x+8}{x}$，
∵x＞0，∴x+1＞0，
①当m≥0时，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当m＜0时，由F′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此时F（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上单调递增，在（-$\frac{4}{m}，+∞$）上单调递减．
综上得：
当m≥0时，F（x）在（0，+∞）是上单调递增；
当m＜0时，F（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上单调递增，在（-$\frac{4}{m}，+∞$）上单调递减．

点评 本题考查了导数在函数中的应用，分类讨论思想，化归思想．属于常考题型，注意参数的讨论．