Question

17．给出下列4个函数：①f（x）=sinx；②f（x）=2^x；③f（x）=$\frac{1}{x-1}$；④f（x）=lnx，则满足对定义域D内的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立的函数序号为①③④．

Answer 1

分析 分别求出四个函数的定义域和值域，结合条件即找出值域关于原点对称的函数，即可判断①③④成立，②不成立．

解答 解：对于①f（x）=sinx，由于-1≤sinx≤1，关于原点对称，满足对定义域D内的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立；
对于②f（x）=2^x，由于2^x＞0，不关于原点对称，则不满足对定义域D内的?x∈D，?y∈D，使f（x）=-f（y）成立；
对于③f（x）=$\frac{1}{x-1}$，定义域为{x|x≠1，x∈R}，值域为{y|y≠0}，关于原点对称，对定义域D内的?x∈D，有
$\frac{1}{x-1}$=-$\frac{1}{y-1}$等价为x+y=2，恒成立，则满足条件；
对于④f（x）=lnx，由于lnx的值域为R，关于原点对称，f（x）=-f（y）等价为lnx=-lny，即为xy=1，恒成立，则满足条件．
则成立的序号为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查函数的值域的运用，考查满足条件的x，y的关系，考查运算能力，属于中档题．