Question

6．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线c₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$．
（1）求曲线c₁与直线l的直角坐标方程．
（2）若直线l与曲线c₁交于两点A、B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由cos²α+sin²α=1，可把曲线c₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）化为直角坐标方程；直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，可的直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$．又经过原点，利用点斜式即可得出．
（2）求出圆心（1，2）到直线y=x的距离d，利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线c₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），由cos²α+sin²α=1，可得：曲线C₁的直角坐标方程为：（x-1）²+（y-2）²=4；
直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，可的直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$．又经过原点，∴曲线C₂的直角坐标方程为：y=x．
（2）∵圆心（1，2）到直线y=x的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．