Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=16，点P（1，2），若M，N为圆O上不同的两点，且PM⊥PN，则MN的取值范围是[3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 如图所示，当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值或最大值，求出M的坐标即可得出结论．

解答 解：如图所示，当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值或最大值．
设k_PM=k，∵∠QPM=45°，∴$\frac{2-k}{1+2k}$=1，解得k=$\frac{1}{3}$．
∴直线PM的方程为：y-2=$\frac{1}{3}$（x-1），化为x-3y+5=0，
代入圆 的方程，化为10y²-30y+9=0，
解得y=$\frac{15+3\sqrt{15}}{10}$或y=$\frac{15-3\sqrt{15}}{10}$．
∴x=3y-5=$\frac{9\sqrt{15}-5}{10}$或$\frac{-9\sqrt{15}-5}{10}$．
∵MN=$\sqrt{2}$PM
∴MN_min=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，MN_max=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$．
故答案为：[3$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、满足一定条件取得最小值的转化问题，考查了计算能力，属于难题．