Question

16．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用中位线，直线平面的平行问题得出l∥BC，根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC，即可得出直线l⊥平面PAC．
（II）建立坐标系得出平面AEF的法向量，cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{PQ}$＞，cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{EF}$＞，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，sinα=|$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，cosβ=|$\frac{-1+4y}{3\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，sinα=cosβ．

解答 （I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，
∴BC∥EF，
又EF⊆平面EFA，BC?平面EFA，
∴BC∥平面EFA
又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，
∴l∥BC．
∵AC⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵PA=PC=AC=2，
∴AE⊥PC，
∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面PAC，
∵l∥BC
∴直线l⊥平面PAC，
（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），
E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（$\frac{1}{2}$，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（1，0，$\sqrt{3}$），Q（2，y，0）
∴$\overrightarrow{CP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）为平面AEF的法向量，$\overrightarrow{EF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PQ}$=（1，y，-$\sqrt{3}$）
∴cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{PQ}$＞=$\frac{-2}{2\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$，cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{2y}{2\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$，
设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=$\frac{π}{2}$，
∴sinα=|$\frac{-1}{\sqrt{{y}^{2}+4}}$|，cosβ=|$\frac{y}{\sqrt{4+{y}^{2}}}$|，sinα=cosβ，
即1=|y|，求解y=±1，y=0，A（2，0，0），
存在Q（2，1，0）或Q（2，-1，0），
|AQ|=1．

点评 本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．