Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）试比较（$\frac{n+1}{n}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）与e（e为自然对数的底数）的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=1时，f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx，x＞0的导数，求得单调区间和极值、最值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．由参数分离和函数的最值求法，即可得到a的范围；
（Ⅲ）设a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，由$\underset{lim}{x→∞}（1+\frac{1}{x}）^{x}$=e，得$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=e$，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}=e$，证明数列{a_n}的单调递增；数列{b_n}的单调递减，即可判断大小．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx，x＞0
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处f（x）取得极小值，也为最小值，且为0；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
即为$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）恒成立．即有$\frac{1}{a}$≤x在[1，+∞）恒成立．
而x≥1，即为$\frac{1}{a}$≤1，
解得a＜0或a≥1；
（Ⅲ）设a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，
由$\underset{lim}{x→∞}（1+\frac{1}{x}）^{x}$=e，得$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=e$，$\underset{lim}{n→∞}{b}_{n}=e$，
由a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜（$\frac{（1+\frac{1}{n}）+（1+\frac{1}{n}）+…+（1+\frac{1}{n}）}{n+1}$）ⁿ⁺¹=（$\frac{n+2}{n+1}$）ⁿ⁺¹=a_n+1，
故数列{a_n}的单调递增；
又b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{（\frac{n}{n+1}）^{n+1}}$=$\frac{1}{（1-\frac{1}{n+1}）^{n+1}}$（令t=-（n+1））
=（1+$\frac{1}{t}$）^t=a_t，
由a_t是关于t的增函数，而t是关于n的减函数，
由复合函数的单调性可得，
（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜e＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹．
故（$\frac{n+1}{n}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）＞e．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查数列的单调性和运用，运用重要极限是解题的关键．