Question

10．已知正实数a，b满足：a+b=2．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值m；
（Ⅱ）设函数f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$），由基本不等式可得；
（2）由不等式的性质可得f（x）≥|x-t-x-$\frac{1}{t}$|=|t+$\frac{1}{t}$|=2，由基本不等式和不等式的性质可得．

解答 解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（a+b）
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$）=2，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=b=1时取等号，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值m=2；
（2）由不等式的性质可得f（x）=|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|
≥|x-t-x-$\frac{1}{t}$|=|t+$\frac{1}{t}$|=2
当且仅当t=±1等号时成立，此时-1≤x≤1，
∴存在x∈[-1，1]使f（x）=m成立．

点评 本题考查基本不等式，属基础题．