Question

6．设f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇数}．
（1）求f（3）；
（2）设存在正数T，使f（n+T）=f（n），求T的最小值；
（3）求f（1）+f（3）+…+f（2015）

Answer 1

分析 （1）由已知中f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇数}．将n=3代入可得f（3）的值；
（2）根据y=sin$\frac{n}{6}$π的周期为12，y=tan$\frac{n}{4}$π的周期为4，求出两个周期的最小公倍数，可得T值；
（3）根据（2）中结论，可得同一周期内f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）=0，进而利用分组求和法，可得答案．

解答 解：（1）∵f（n）=sin$\frac{n}{6}$π+tan$\frac{n}{4}$π，n∈{正奇数}．
∴f（3）=sin$\frac{3}{6}$π+tan$\frac{3}{4}$π=1-1=0，
（2）由y=sin$\frac{n}{6}$π的周期为12，y=tan$\frac{n}{4}$π的周期为4，
故存在正数T=12，使f（n+T）=f（n），正数T的最小值为12．
（3）由（2）中f（n）的周期为12，
则f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）=0，
2015=167×12+11，
故f（1）+f（3）+…+f（2015）=168[f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）]-f（2017）=-f（2017）=-f（11），
由f（11）=sin$\frac{11}{6}$π+tan$\frac{11}{4}$π=-$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{2}$得：
f（1）+f（3）+…+f（2015）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，是三角函数与函数周期性的综合应用，难度中档．