Question

17．设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，0≤x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（2x）≤（x+a）恒成立，则实数a的最大值为-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 当x≥0时，结合二次函数和对数函数单调性可得f（x）的单调性，由偶函数的性质可得f（x）=f（|x|），不等式f（2x）≤f（x+a）即为f（|2x|）≤f（|x+a|），即有|2x|≤|x+a|，结合二次函数的图象和不等式恒成立思想，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，0≤x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
当x∈[0，1），y=x²-1递增，且x=1，y=0，
当x≥1时，y=lnx递增，且经过点（1，0），
则由偶函数的性质可得f（x）=f（|x|），
因为f（x）在[0，+∞）递增，
由不等式f（2x）≤f（x+a）即为f（|2x|）≤f（|x+a|），
即有|2x|≤|x+a|，
即为（3x+a）（x-a）≤0，
对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（2x）≤f（x+a）恒成立，
由二次函数的图象可得，（3a+a）（a-a）≤0，且[3（a+1）+a]（a+1-a）≤0，
即为0≤0且a≤-$\frac{3}{4}$，
则有a≤-$\frac{3}{4}$．
所以a的最大值为-$\frac{3}{4}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和单调性的运用：解不等式，运用偶函数的性质和二次函数的图象是解题的关键，属于中档题和易错题．