Question

8．在（1+2x）ⁿ的展开式中，最后三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为第8项．

Answer 1

分析 由题意可得后三项的二项式系数和 1+C_n¹+C_n²=56，解方程求得n 的值．设第r+1项的系数最大，利用二项式系数的性质及组合数公式求得展开式中系数最大的项．

解答 解：由题意得：1+C_n¹+C_n²=56，解得n=10，
设第r+1项的系数最大，则有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$，∴r=7．
∴展开式中第8项的系数最大，
故答案为：8．

点评 本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是基础题．