Question

15．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）=2x-x²，若x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，则ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件求出x＜0时的解析式，从而求出f（x）在R上的解析式．根据题意知道a＜0，b＞0，并且a是x＜0时f（x）的图象与y=$\frac{1}{x}$图象的交点横坐标，b是x＞0时f（x）图象与y=$\frac{1}{x}$图象交点的横坐标，所以解方程即可求出a，b．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=2x-x²，函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=-2x-x²=-f（x）；
∴f（x）=x²+2x；
∴函数f（x）的图象如下：

∵b＞a，若a，b异号，则$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$，不符合已知条件，
∴只能a＜b＜0，或0＜a＜b，
当0＜a＜b时，由x＞0时，f（x）=2x-x²的最大值为1，
故$\frac{1}{a}$≤1，即1≤a＜b，
此时函数f（x）=2x-x²为减函数，
则f（a）=2a-a²=$\frac{1}{a}$，且f（b）=2b-b²=$\frac{1}{b}$，
即a，b是f（x）=2x-x²与y=$\frac{1}{x}$图象的交点横坐标，
解2x-x²=$\frac{1}{x}$得：x=1或x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
即a=1或b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
同理当a＜b＜0时，ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
综上所述：ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 考查根据条件求函数解析式，分段函数及分段函数图象，二次函数的图象，奇函数的定义．