Question

20．若函数f（x）=xln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）为偶函数，则a=1．

Answer 1

分析 由题意可得，f（-x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．

解答 解：∵f（x）=xln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴（-x）ln（-x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）=xln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$），
∴-ln（-x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）=ln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$），
∴ln（-x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）+ln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$）=0，
∴ln（$\sqrt{a+{x}^{2}}$+x）（$\sqrt{a+{x}^{2}}$-x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．