Question

12．△ABC的内切圆的半径为r，外接圆半径为R，则$\frac{r}{4R}$的值等于（　　）

• A． sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$
• B． cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$
• C． sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$
• D． sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$

Answer 1

分析 用三角形的三边及两个圆的半径分别表示出三角形面积，建立等式，利用和差化积公式，倍角公式，正弦定理化简即可得解．

解答 解：∵sinA+sinB+sinC
=sinA+sinB+sin（A+B）
=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$+2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
=2sin$\frac{A+B}{2}$（cos$\frac{A-B}{2}$+cos$\frac{A+B}{2}$）
=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
∵由正弦定理可知：sinC=$\frac{c}{2R}$，（R为外接圆的半径）
∴再由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，将sinC=$\frac{c}{2R}$代入，于是可得：S_△ABC=$\frac{abc}{4R}$，
∵由于内心到三角形三边的距离都是r，且内心分此三角形成边长分别为a、b、c高都是r的三个三角形，
∴S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}=\frac{abc}{4R}$，
∴$\frac{r}{4R}$=$\frac{abc}{8{R}^{2}（a+b+c）}$=$\frac{c•sinAsinB}{2（a+b+c）}$=$\frac{sinAsinBsinC}{2（sinA+sinB+sinC）}$=$\frac{8sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{8cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}}$=sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{B}{2}$sin$\frac{C}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内心的性质，三角形内角和定理，和差化积公式，倍角公式等知识的应用，考查了转化思想，技巧性较强，属于难题．