Question

2．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x≤1时，f（x）=x²-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）应知道f（x）和f（2-x）的图象关于x=1对称，从而由f（x）=x²-2求出f（2-x）解析式，并限制f（2-x）满足x＞1，这样用分段函数表示出f（x）即可；
（2）分x≤1，和x＞1两种情况，将每种情况下的f（x）带入f（x）＞0求解即可．

解答 解：（1）f（x）和f（2-x）的图象关于x=1对称；
f（x）=x²-2；
∴f（2-x）=（2-x）²-2=x²-4x+2；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2}&{x≤1}\\{{x}^{2}-4x+2}&{x＞1}\end{array}\right.$；
（2）①x≤1时，由f（x）＞0，得x²-2＞0；
解得$x＜-\sqrt{2}$，或$x＞\sqrt{2}$；
∴$x＜-\sqrt{2}$；
②若x＞1，解x²-4x+2＞0得：
$x＜2-\sqrt{2}$，或$x＞2+\sqrt{2}$；
∴$x＞2+\sqrt{2}$；
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x$＜-\sqrt{2}$，或x$＞2+\sqrt{2}$}．

点评 考查对f（x+a）和f（b-x）的图象关于x=$\frac{a+b}{2}$对称的掌握情况，分段函数的表示，f（x）为分段函数时，f（x）＞0的解法．