Question

17．已知数列{a_n}的递推公式为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}&{\;}\\{{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}}&{n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$那么数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$两边同时取倒数，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
故答案为：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．