Question

3．设t∈R，对任意的n∈N^*，不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，则t的取值范围是[4，5]．

Answer 1

分析 由不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，得（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0，等价于$\left\{\begin{array}{l}{tn≥20}\\{\frac{n}{t}≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tn≤20}\\{0＜\frac{n}{t}≤1}\end{array}\right.$，分离出参数t后化为函数的最值可求，注意n的取值范围．

解答 解：由不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，得
nt（Inn-Int）≥20（Inn-Int），即（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0，
（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0等价于$\left\{\begin{array}{l}{tn≥20}\\{\frac{n}{t}≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tn≤20}\\{0＜\frac{n}{t}≤1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≥\frac{20}{n}}\\{t≤n}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{t≤\frac{20}{n}}\\{t≥n}\end{array}\right.$ ②，
对于①有n≥5，
∵对于n恒成立，
∴t≥$（\frac{20}{n}）_{max}=4$，且t≤n_min=5，∴t∈[4，5]；
同理由②也得t∈[4，5]，
综上得，t∈[4，5]．
故答案为：[4，5]．

点评 本题考查函数恒成立问题，不等式的等价转化，考查转化思想，准确理解题意是解决该题的关键，是中档题．