Question

19．已知cot（θ+$\frac{7}{2}$π）=$\frac{3}{4}$（$\frac{π}{2}$＜θ＜π），cos（π-α）=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π），求下列各式的值：
$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}$，sin2θ，cos（-2α），sin（α-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 已知等式左边利用诱导公式化简求出tanθ与cosα的值，根据θ与α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ，sinθ，sinα的值，原式各项变形后代入计算即可求出值．

解答 解：∵cot（θ+$\frac{7}{2}$π）=-tanθ=$\frac{3}{4}$，即tanθ=-$\frac{3}{4}$，cos（π-α）=-cosα=$\frac{1}{2}$，即cosα=-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{2}$＜θ＜π，$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴cosθ=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=-$\frac{4}{5}$，sinθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}$=$\frac{tanθ+1}{tanθ-1}$=$\frac{-\frac{3}{4}+1}{-\frac{3}{4}-1}$=-$\frac{1}{7}$；sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$；cos（-2α）=cos2α=2cos²α-1=-$\frac{1}{2}$，sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．