Question

18．在△ABC中，已知a²tanB=b²tanA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由a²tanB=b²tanA，利用同角三角函数基本关系式与正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，再利用倍角公式及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a²tanB=b²tanA，
∴${a}^{2}•\frac{sinB}{cosB}$=b²$•\frac{sinA}{cosA}$，
由正弦定理可得：sin²A$•\frac{sinB}{cosB}$=sin²B$•\frac{sinA}{cosA}$，
∵A，B∈（0，π），
∴sinAsinB≠0，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∵A，B∈（0，π），
∴2A=2B，或2A=π-2B，
化为A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、倍角公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．