Question

10．设直线l与坐标轴的交点分别为M（a，0），N（0，b），且ab≠0，斜率为k，坐标原点到直线l的距离为d．证明：
（1）b=-ka；
（2）a²k²=d²（1+k²）；
（3）$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用斜率计算公式可得k=$\frac{b-0}{0-a}$，化简即可得出．
（2）直线l的截距式为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，利用点到直线的距离公式即可得出；
（3）由（2）可得$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}•{a}^{2}{k}^{2}}$，再利用（1）的结论b=-ka即可证明．

解答 证明：（1）k=$\frac{b-0}{0-a}$，化为b=-ka．
（2）直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，化为bx+ay-ab=0．
则坐标原点到直线l的距离为d=$\frac{|0-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{|-k{a}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}{a}^{2}+{a}^{2}}}$，两边平方可得：a²k²=d²（1+k²）．
（3）由（2）可得$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}•{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}•{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$．

点评 本题考查了直线的截距式、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．