Question

5．设f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求证：
（1）[g（x）]²-[f（x）]²=1
（2）f（2x）=2f（x）•g（x）
（3）f（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²．

Answer 1

分析 利用乘法公式与指数幂的运算性质即可得出．

解答 证明：（1）[g（x）]²-[f（x）]²=$（\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}）^{2}$-$（\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}）^{2}$=$\frac{2-（-2）}{4}$=1=右边，∴左边=右边．
（2）右边=2×$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$×$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=f（2x）=左边，
∴左边=右边．
（3）右边=$（\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}）^{2}$+$（\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}）^{2}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$=f（2x）=左边，∴左边=右边．

点评 本题考查了乘法公式与指数幂的运算性质，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题．