Question

14．求函数f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x的周期，最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用倍角公式可得：函数f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，再利用三角函数的周期性与单调性即可得出．

解答 解：函数f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2$（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$
=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1，即2x+$\frac{π}{6}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值2；
当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=-1，即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得x=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最小值-2．
∴函数f（x）的周期为π，最大值和最小值分别2，-2．

点评 本题考查了倍角公式、三角函数的周期性与单调性最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．