Question

18．设有两个命题：命题p：函数f（x）=-x²+ax+1在[1，∞）上是单调递减函数；命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上单调递减，若命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质可求得命题p真时a的取值范围，由导数的几何意义可求得f（x）的解析式，f（x）在[a，a+1]上单调递减可求得实数a的取值范围，再由“p或q“为真即可求得答案．

解答 解：命题p：函数f（x）=-x²+ax+1在[1，∞）上是单调递减函数，
∴对称轴x=$\frac{a}{2}$≤1，∴a≤2；
又命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，
∴f（-1）=-m+n=2①
f′（-1）=3m（-1）²+2n（-1）=-2，即3m-2n=-2②
由①②得：m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，
∴f′（x）=6x²+8x=2x（3x+4），
∴当-$\frac{4}{3}$≤x≤0时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-$\frac{4}{3}$，0]上单调递减；
∵f（x）=2x³+4x²在[a，a+1]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{4}{3}}\\{a+1≤0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{4}{3}$≤a≤-1，
若命题p或q为真，p且q为假，则p，q一真一假，
p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞-1或a＜-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴-1＜a≤2或a＜-$\frac{4}{3}$，
p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{-\frac{4}{3}≤a≤-1}\end{array}\right.$无解，
综上：-1＜a≤2或a＜-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查命题的真假判断与应用，求得命题p真与命题q真时实数a的取值范围是关键，属于中档题．