Question

4．已知复数z=（$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$）²⁰¹⁵，i为虚数单位，则z=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．

Answer 1

分析 由于$（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i，可得复数z=i¹⁰⁰⁷×$\frac{\sqrt{2}i（1-i）}{（1+i）（1-i）}$，化简即可得出．

解答 解：∵$（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}$=$\frac{-2}{2i}$=i，
∴复数z=（$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$）²⁰¹⁵=$[（\frac{\sqrt{2}i}{1+i}）^{2}]^{1007}$×$\frac{\sqrt{2}i}{1+i}$=i¹⁰⁰⁷×$\frac{\sqrt{2}i（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=（i⁴）²⁵¹×i³×$\frac{\sqrt{2}i+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．