Question

17．定义在R上的函数f（x）与f（x+1）均为奇函数，且当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\sqrt{x}$，则f（$\frac{31}{4}$）=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用函数f（x）与f（x+1）均为奇函数，可得f（-x）=-f（x），f（-x+1）=-f（x+1），从而f（x+2）=f（x），函数的周期为2，即可求得结论．

解答 解：∵函数f（x）与f（x+1）均为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2，
∴f（$\frac{31}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$）=-f（$\frac{1}{4}$），
∵当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\sqrt{x}$，
∴f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{31}{4}$）=-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性，考查学生转化问题的能力，属于中档题．